设为首页 | 加入收藏 | 联系站长
您现在的位置: 伟德国际 >> 教学科研 >> 教研动态 >> 正文
同角三角函数的基本关系式及诱导公式         
同角三角函数的基本关系式及诱导公式
作者:数学组 文章来源:本站原创 点击数:2492 更新时间:2014-12-26 11:10:50

导学目标: 1.能利用单位圆中的三角函数线推导出2(π)±απ±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.2.理解同角三角函数的基本关系式:sin2xcos2x1cos x(sin x)tan x.  

  

自主梳理  

1.同角三角函数的基本关系  

(1)平方关系:____________________.  

(2)商数关系:______________________________.  

2.诱导公式  

(1)sin(α2kπ)________cos(α2kπ)__________tan(α2kπ)__________kZ.  

(2)sin(πα)________cos(πα)________tan(πα)________.  

(3)sin(α)________cos(α)__________tan(α)________.  

(4)sin(πα)__________cos(πα)__________tan(πα)________.  

(5)sin-α(π)________cos-α(π)________.  

(6)sin+α(π)__________cos+α(π)____________________________________.  

3.诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,一般步骤为:  

  

上述过程体现了化归的思想方法.  

自我检测  

1(2010·全国)cos 300°等于                                             (  )  

A.-2(3)                          B.-2(1)  

C.2(1)                               D.2(3)  

2(2009·陕西)3sin αcos α0,则cos2α+sin 2α(1)的值为                    (  )  

A.3(10)                              B.3(5)  

C.3(2)                               D.-2  

3(2010·福建龙岩一中高三第三次月考)α是第一象限角,tan α4(3),则sin α等于(  )  

A.5(4)                               B.5(3)  

C.-5(4)   D.-5(3)  

4cos(4(17)π)sin(4(17)π)的值是                                          (  )  

A.   B.-  

C0 D.2(2)  

5(2011·清远月考)已知cos(6(π)α)3(2),则sin(α3())________.  

  

探究点一 利用同角三角函数基本关系式化简、求值  

1 已知-2(π)<x<0sin xcos x5(1).  

(1)sin2xcos2x的值;  

(2)2sin x+cos x(tan x)的值.  

   

   

   

   

变式迁移1 已知sin(3πα)2sin+α(),求下列各式的值.  

(1)5sin α+2cos α(sin α-4cos α)(2)sin2αsin 2α.  

   

   

   

   

探究点二 利用诱导公式化简、求值  

2 (2011·合肥模拟)已知sin2(π)=-5(5)α(0π)  

(1)+α()的值;  

(2)cos4()的值.  

   

   

   

   

变式迁移2 设f(α)  

+α(π) (12sin α0),则f6(23π)________.  

探究点三 综合应用  

3 在ABC中,若sin(2πA)=-sin(πB)cos A=-cos(πB),求ABC的三个内角.  

   

   

   

   

变式迁移3 (2011·安阳模拟)已知ABC中,sin Acos A5(1)  

(1)sin A·cos A  

(2)判断ABC是锐角三角形还是钝角三角形;  

(3)tan A的值.  

   

   

   

   

  

转化与化归思想的应用  

 (12)已知α是三角形的内角,且sin αcos α5(1).  

(1)tan α的值;  

(2)cos2α-sin2α(1)tan α表示出来,并求其值.  

多角度审题 sin αcos α5(1)应联想到隐含条件sin2αcos2α1,要求tan α,应当切化弦,所以只要求出sin αcos α即可.  

【答题模板】  

解 (1)联立方程,   ①sin2α+cos2α=1, ②(1)  

cos α5(1)sin α,将其代入,整理得25sin2α5sin α120.[2]  

α是三角形的内角,5(3)[4]  

tan α=-3(4).[6]  

(2)cos2α-sin2α(1)cos2α-sin2α(sin2α+cos2α)cos2α(cos2α-sin2α)1-tan2α(tan2α+1)[8]  

tan α=-3(4)cos2α-sin2α(1)1-tan2α(tan2α+1)[10]  

2(4)=-7(25).[12]  

【突破思维障碍】  

sin αcos α5(1)sin2αcos2α1联立方程组,利用角α的范围,应先求sin α再求cos α.(1)问切化弦即可求.(2)问应弦化切,这时应注意1的活用.  

【易错点剖析】  

在求解sin αcos α的过程中,若消去cos α得到关于sin α的方程,则求得两解,然后应根据α角的范围舍去一个解,若不注意,则误认为有两解.  

  

1由一个角的三角函数值求其他三角函数值时,要注意讨论角的范围.  

2.注意公式的变形使用,弦切互换、三角代换、消元是三角代换的重要思想,要尽量少开方运算,慎重确定符号.注意1的灵活代换.  

3.应用诱导公式,重点是函数名称正负号的正确判断.  

   

(满分:75)  

一、选择题(每小题5分,共25)  

1(2011·荆州模拟)已知ABC中,sin A(cos A)=-5(12),则cos A等于               (  )  

A.13(12) B.13(5)  

C.-13(5) D.-13(12)  

2.已知tan α=-12(5),且α为第二象限角,则sin α的值等于                      (  )  

A.5(1) B.-15(1)  

C.13(5) D.-13(5)  

3(2011·许昌月考)已知f(α)cos(-π-α)tan α(sin(π-α)cos(2π-α)),则f(3(31)π)的值为           (  )  

A.2(1) B.-3(1) C.-2(1) D.3(1)  

4.设f(x)asin(πxα)bcos(πxβ),其中abαβ都是非零实数,若f(2 002)=-1,则f(2 003)等于                                                             (  )  

A.-1 B0 C1 D2  

5(2010·全国)cos(80°)k,那么tan 100°等于                        (  )  

A.k(1-k2) B.-k(1-k2)  

C.1-k2(k) D.-1-k2(k)  

题号  

1  

2  

3  

4  

5  

答案  

   

   

   

   

   

二、填空题(每小题4分,共12)  

6(2010·全国)已知α是第二象限的角,tan α=-2(1),则cos α________.  

7sin2sin2sin2sin289°________.  

8(2010·东北育才学校高三第一次模拟考试)tan α2,则sin α-cos α(sin α+cos α)cos2α________.  

三、解答题(38)  

9(12)已知f(α)-tan(-α-π)sin(-π-α)(sin(π-α)cos(2π-α)tan(-α+π)).  

(1)化简f(α)  

(2)α是第三象限角,且cos(α2())5(1),求f(α)的值.  

   

   

   

   

10(12)化简:sin[(k+1)π+α]·cos(kπ+α)(sin(kπ-α)·cos[(k-1)π-α]) (kZ)  

   

   

   

   

11(14)(2011·秦皇岛模拟)已知sin θcos θ是关于x的方程x2axa0(aR)的两个根.  

(1)cos3(2(π)θ)sin3(2(π)θ)的值;  

(2)tan(πθ)tan θ(1)的值.  

   

   

   

答案   自主梳理  

1(1)sin2αcos2α1 (2)cos α(sin α)tan α 2.(1)sin α cos α tan α (2)sin α -cos α tan α (3)sin α cos α -tan α (4)sin α -cos α -tan α (5)cos α sin α (6)cos α -sin α  

自我检测  

1C [cos 300°cos(360°60°)cos 60°2(1).]  

2A [3sin αcos α0sin2αcos2α1  

sin2α10(1)  

cos2α+sin 2α(1)cos2α+2sin α·(-3sin α)(1)  

1-7sin2α(1)3(10).]  

3B  

4A [cos(4(17)π)sin(4(17)π)cos(4(π))sin(4(π))cos(4(π))sin(4(π))cos4(π)sin4(π).]  

5.-3(2)  

解析 sin(α3())=-sin(3()α)  

=-sin[(6(π)α)2(π)]  

=-cos(6(π)α)=-3(2).  

课堂活动区  

1 解题导引 学会利用方程思想解三角函数题,对于sin αcos αsin αcos αsin αcos α这三个式子,已知其中一个式子的值,就可以求出其余二式的值,但要注意对符号的判断.  

解 sin xcos x5(1)得,  

12sin xcos x25(1),则2sin xcos x=-25(24).  

2(π)<x<0sin x<0cos x>0  

sin xcos x<0.  

sin xcos x  

=-  

=-25(24)=-5(7).  

(1)sin2xcos2x(sin xcos x)(sin xcos x)  

5(1)×5(7)=-25(7).  

(2)5(7)  

5(4),则tan x=-4(3).  

2sin x+cos x(tan x)5(4)8(15).  

变式迁移1 解 sin(3πα)2sin+α()  

sin α=-2cos α.  

sin α2cos α,即tan α2.  

方法一 (直接代入法)  

(1)原式=5×2cos α+2cos α(2cos α-4cos α)=-6(1).  

(2)原式=sin2α+cos2α(sin2α+2sin αcos α)sin2α(1)5(8).  

方法二 (同除转化法)  

(1)原式=5tan α+2(tan α-4)5×2+2(2-4)=-6(1).  

(2)原式=sin2α2sin αcos α  

sin2α+cos2α(sin2α+2sin αcos α)tan2α+1(tan2α+2tan α)5(8).  

2 解题导引 三角诱导公式记忆有一定规律:π+α(k)的本质是:奇变偶不变(k而言,指k取奇数或偶数),符号看象限(看原函数,同时可把α看成是锐角).诱导公式的应用是求任意角的三角函数值,其一般步骤:(1)负角变正角,再写成2kπα0α<2π(2)转化为锐角三角函数.  

解 (1)sin2(π)=-5(5)α(0π)  

cos α=-5(5)sin α5(5).  

+α()sin α-cos α(-cos α-sin α)=-3(1).  

(2)cos α=-5(5)sin α5(5)  

sin 2α=-5(4)cos 2α=-5(3)  

cos4()=-2(2)cos 2α2(2)sin 2α=-10(2).  

变式迁移2   

解析 f(α)1+sin2α+sin α-cos2α((-2sin α)(-cos α)+cos α)  

2sin2α+sin α(2sin αcos α+cos α)sin α(1+2sin α)(cos α(1+2sin α))tan α(1)  

f6(23π)6(23π)  

6(π)6(π).  

3 解题导引 先利用诱导公式化简已知条件,再利用平方关系求得cos A.求角时,一般先求出该角的某一三角函数值,再确定该角的范围,最后求角.诱导公式在三角形中常用结论有:ABπC2(A)2(B)2(C)2(π).  

解 由已知得cos B, ②(2sin B,  ①)  

222cos2A1,即cos A±2(2).  

(1)cos A2(2)时,cos B2(3)  

AB是三角形的内角,  

A4(π)B6(π)Cπ(AB)12(7)π.  

(2)cos A=-2(2)时,cos B=-2(3).  

AB是三角形的内角,  

A4(3)πB6(5)π,不合题意.  

综上知,A4(π)B6(π)C12(7)π.  

变式迁移3 解 (1)sin Acos A5(1)  

两边平方得12sin Acos A25(1)  

sin A·cos A=-25(12).  

(2)(1)sin A·cos A=-25(12)<00<A<π  

可知cos A<0A为钝角  

∴△ABC为钝角三角形  

(3)(sin Acos A)212sin A·cos A25(49)  

sin A>0cos A<0sin Acos A>0  

sin Acos A5(7)  

sin A5(4)cos A=-5(3)  

tan Acos A(sin A)=-3(4).  

文章录入:数学组    责任编辑:数学组 
  • 上一篇文章:

  • 下一篇文章:
  • 【字体: 】【发表评论】【加入收藏】【告诉好友】【打印此文】【关闭窗口
     
    网友评论:(只显示最新10条。评论内容只代表网友观点,与本站立场无关!)
    | 设为首页 | 加入收藏 | 联系站长 | 友情链接 | 版权申明 | 管理登录 | 
    伟德国际(兰州59中)  地址:兰州市西固区福利东路485号 Tel:0931-7937202  网站备案号:陇ICP备15000584号
    Web page templates designed by zhongyuan studio Email:
    Copyright © 2003- 2010 PowerEasy. All Rights Reserved 合作QQ:534265041